SPLTV, atau Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, adalah sekumpulan persamaan linear yang melibatkan tiga variabel. Metode substitusi adalah salah satu cara untuk menyelesaikan sistem ini.
Dalam artikel ini, kita akan membahas contoh soal SPLTV menggunakan metode substitusi, langkah-langkah penyelesaiannya, serta memberikan jawaban yang jelas.
Mengapa Menggunakan Metode Substitusi?
Kelebihan Metode Substitusi
Metode substitusi sangat berguna ketika kita memiliki satu persamaan yang lebih mudah untuk diselesaikan dibandingkan yang lain. Dengan mengganti satu variabel dengan ekspresi dari variabel lain, kita dapat menyederhanakan sistem persamaan dan menemukan solusi dengan lebih cepat. Metode ini juga membantu dalam memahami hubungan antar variabel.
Kapan Menggunakan Metode Substitusi?
Metode ini paling efektif digunakan ketika salah satu persamaan sudah dalam bentuk yang mudah untuk diselesaikan. Jika kita memiliki persamaan yang lebih kompleks, metode lain seperti eliminasi mungkin lebih sesuai. Namun, untuk tujuan pembelajaran, mari kita fokus pada contoh soal menggunakan metode substitusi.
Contoh Soal SPLTV
Soal 1 Sistem Persamaan Linear
Pertimbangkan sistem persamaan berikut:
$ \begin{align*}
- & \quad 2x + 3y + z = 10 \
- & \quad x - y + 2z = 5 \
- & \quad 3x + y - z = 4 \end{align*} $
Langkah 1 Menyelesaikan Salah Satu Persamaan
Kita akan menyelesaikan persamaan kedua untuk $x$:
$ x = y - 2z + 5 $
Langkah 2 Substitusi ke Persamaan Lain
Sekarang kita substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaan pertama dan ketiga.
Substitusi ke Persamaan Pertama
$ 2(y - 2z + 5) + 3y + z = 10 $
Sederhanakan:
$ 2y - 4z + 10 + 3y + z = 10 $
Gabungkan variabel:
$ 5y - 3z + 10 = 10 $
Kurangi 10 dari kedua sisi:
$ 5y - 3z = 0 \quad \text{(Persamaan 4)} $
Substitusi ke Persamaan Ketiga
Sekarang substitusikan $x$ ke dalam persamaan ketiga:
$ 3(y - 2z + 5) + y - z = 4 $
Sederhanakan:
$ 3y - 6z + 15 + y - z = 4 $
Gabungkan variabel:
$ 4y - 7z + 15 = 4 $
Kurangi 15 dari kedua sisi:
$ 4y - 7z = -11 \quad \text{(Persamaan 5)} $
Langkah 3 Menyelesaikan Sistem Persamaan Baru
Sekarang kita memiliki dua persamaan baru:
$
Menyelesaikan Persamaan 4 untuk $y$
Dari persamaan 4, kita dapat menyelesaikan untuk $y$:
$ 5y = 3z \implies y = \frac{3}{5}z $
Substitusi ke Persamaan 5
Sekarang substitusikan nilai $y$ ke dalam persamaan 5:
$ 4\left(\frac{3}{5}z\right) - 7z = -11 $
Sederhanakan:
$ \frac{12}{5}z - 7z = -11 $
Ubah $7z$ menjadi pecahan:
$ \frac{12}{5}z - \frac{35}{5}z = -11 $
Gabungkan:
$ -\frac{23}{5}z = -11 $
Kalikan kedua sisi dengan $-\frac{5}{23}$:
$ z = \frac{55}{23} $
Langkah 4 Mencari Nilai
Sekarang kita substitusikan nilai $z$ ke dalam persamaan untuk mencari $y$:
$ y = \frac{3}{5}\left(\frac{55}{23}\right) = \frac{165}{115} = \frac{33}{23} $
Langkah 5 Mencari Nilai
Terakhir, substitusikan nilai $y$ dan $z$ ke dalam persamaan untuk mencari $x$:
$ x = \left(\frac{33}{23} - 2\left(\frac{55}{23}\right) + 5\right) $
Sederhanakan:
$ x = \frac{33}{23} - \frac{110}{23} + \frac{115}{23} = \frac{38}{23} $
Hasil Akhir
Dengan demikian, solusi dari sistem persamaan ini adalah:
$
Contoh Soal Lainnya
Soal 2 Sistem Persamaan Linear
Mari kita lihat contoh lain dengan sistem persamaan yang berbeda:
$ \begin{align*}
- & \quad x + 2y + 3z = 6 \
- & \quad 2x - y + z = 3 \
- & \quad 3x + 4y - z = 7 \end{align*} $
1 Menyelesaikan Salah Satu Persamaan
Kita akan menyelesaikan persamaan pertama untuk $x$:
$ x = 6 - 2y - 3z $
2 Substitusi ke Persamaan Lain
Substitusikan nilai $x$ ke dalam persamaan kedua dan ketiga.
Substitusi ke Persamaan Kedua
$ 2(6 - 2y - 3z) - y + z = 3 $
Sederhanakan:
$ 12 - 4y - 6z - y + z = 3 $
Gabungkan variabel:
$ -5y - 5z + 12 = 3 $
Kurangi 12 dari kedua sisi:
$ -5y - 5z = -9 \implies y + z = \frac{9}{5} \quad \text{(Persamaan 4)} $
Substitusi ke Persamaan Ketiga
Substitusikan $x$ ke dalam persamaan ketiga:
$ 3(6 - 2y - 3z) + 4y - z = 7 $
Sederhanakan:
$ 18 - 6y - 9z + 4y - z = 7 $
Gabungkan variabel:
$ -2y - 10z + 18 = 7 $
Kurangi 18 dari kedua sisi:
$ -2y - 10z = -11 \implies 2y + 10z = 11 \quad \text{(Persamaan 5)} $
3 Menyelesaikan Sistem Persamaan Baru
Sekarang kita memiliki dua persamaan baru:
$
Menyelesaikan Persamaan 4 untuk $y$
Dari persamaan 4, kita dapat menyelesaikan untuk $y$:
$ y = \frac{9}{5} - z $
Substitusi ke Persamaan 5
Sekarang substitusikan nilai $y$ ke dalam persamaan 5:
$ 2\left(\frac{9}{5} - z\right) + 10z = 11 $
Sederhanakan:
$ \frac{18}{5} - 2z + 10z = 11 $
Gabungkan:
$ \frac{18}{5} + 8z = 11 $
Ubah 11 menjadi pecahan:
$ \frac{18}{5} + 8z = \frac{55}{5} $
Kurangi $\frac{18}{5}$ dari kedua sisi:
$ 8z = \frac{55}{5} - \frac{18}{5} = \frac{37}{5} $
Bagi kedua sisi dengan 8:
$ z = \frac{37}{40} $
4 Mencari Nilai
Sekarang kita substitusikan nilai $z$ ke dalam persamaan untuk mencari $y$:
$ y = \frac{9}{5} - \frac{37}{40} $
Ubah $\frac{9}{5}$ menjadi pecahan dengan penyebut 40:
$ y = \frac{72}{40} - \frac{37}{40} = \frac{35}{40} = \frac{7}{8} $
5 Mencari Nilai
Terakhir, substitusikan nilai $y$ dan $z$ ke dalam persamaan untuk mencari $x$:
$ x = 6 - 2\left(\frac{7}{8}\right) - 3\left(\frac{37}{40}\right) $
Sederhanakan:
$ x = 6 - \frac{14}{8} - \frac{111}{40} $
Ubah 6 menjadi pecahan dengan penyebut 40:
$ x = \frac{240}{40} - \frac{14 \cdot 5}{40} - \frac{111}{40} = \frac{240 - 70 - 111}{40} = \frac{59}{40} $
Hasil Akhir
Dengan demikian, solusi dari sistem persamaan ini adalah:
$
Tabel Perbandingan Metode Penyelesaian
Kesimpulan
Metode substitusi dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah teknik yang sangat berguna.
Dengan memahami langkah-langkah dan aplikasinya, kita dapat dengan mudah menemukan solusi untuk berbagai masalah matematika yang melibatkan tiga variabel.
Latihan yang cukup akan membantu kita menguasai metode ini dan menerapkannya dalam berbagai konteks, baik dalam akademis maupun kehidupan sehari-hari.
